Déterminer nombre dérivé

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Lenoir Jérome

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Comment déterminer un nombre dérivé

Lors d’une séance de Travaux pratiques, Thomas étudie le mouvement d’une balle lâchée à une certaine hauteur en chute libre.

La distance parcourue par la balle depuis son point de chute en fonction du temps est modélisée par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 3] par f(t) =4,9 t²

Dans sa conclusion de TP, Thomas annonce qu’en 1,5 seconde, la balle a déjà atteint les 50 km/h !

Que penses tu de cette conclusion ?

Solution :

Pour répondre à cette question, tu vas devoir déterminer la vitesse de la balle au bout de 1,5 seconde en calculant le nombre dérivé de la fonction f au point d’abscisse 1,5.

Appuie d’abord sur la touche f(x) puis saisis l’expression de la fonction f en Y1 à l’aide des touches

4.9variablessquaredentrer


Visualise maintenant la courbe représentative de la fonction f à l’aide de la touche graphe

Pas terrible comme graphique, n’est-ce pas ?

Il faut donc que tu recadres ta fenêtre.

Pour cela, tu vas pouvoir t’aider de ton tableau de valeurs en appuyant sur les touches seconde puis graphe

Rappelle toi l’allure du graphique de tout à l’heure, on peut facilement conjecturer que la fonction f est strictement croissante sur son intervalle de définition [0 ; 3].

Or, dans le tableau, on voit que l’image de 3 par la fonction f a pour valeur 44,1. Tu pourras donc prendre 45 comme valeur pour Ymax.

Rends toi maintenant dans les réglages de ta fenêtre graphique en appuyant sur la touche fenêtre. Saisis alors :

Xmin=0
Xmax=3
Xgrad=1
Ymin=0
Ymax=45
Et enfin Ygrad=5 par exemple

En validant chaque ligne par entrer

En appuyant sur la touche graphe, tu vois que le graphique est maintenant exploitable.

Tu vas maintenant déterminer le nombre dérivé de la fonction f au point d’abscisse 1,5, ce qui correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce même point.

Pour cela, appuie sur les touches seconde puis program

Choisis l’option tangente en appuyant sur 5

Dirige maintenant le curseur à l’aide des flèches directionnelles jusqu’à ce que la valeur de X indiquée soit égale à 1,5.

Valide enfin avec la touche entrer

La tangente précédemment définie s’affiche alors ainsi que son équation : y = 14,7 x- 11,025

Le coefficient directeur de cette tangente correspond au nombre dérivé de la fonction f au point d’abscisse 1,5 c’est à dire, à la vitesse de la balle au bout de 1,5 seconde soit ici 14,7 m/s.

Une petite remarque : si tu ne souhaites pas passer par un graphique, tu peux très bien calculer directement le nombre dérivé d’une fonction en une abscisse donnée.

2ndemode

Pour cela, appuie sur les touches : math8

Indique l’inconnue choisie : variables

Puis l’expression de la fonction f :

4.9variablessquaredright arrow

Et enfin la valeur de l’abscisse souhaitée, ici 1,5 :

1.5entrer

Il ne te reste plus qu’à convertir cette vitesse en km/h, en la multipliant par 3,6 :

x36entrer

Conclusion : La vitesse atteinte par la balle en 1,5 seconde est de 52,92 km/h. La conclusion de Thomas est donc tout à fait correcte !

EXERCEZ-VOUS !

BONNE réponse
MAUVAISE réponse

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 4 correspond au nombre dérivé de la fonction f au point d’abscisse 4 c’est à dire f ‘(4) :

math8variables3variablessquaredminus

7variablesplus5right arrow4entrer

q 1/3

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 10] par et Cf sa courbe représentative dans un repère donné. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 4 est :


(Coche la bonne réponse)

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