Loi Binomiale

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Loi Binomiale et prise de décision

On s’intéresse au chiffre d’affaire journalier d’un hypermarché pendant 30 jours ouvrables, et on choisit une journée au hasard. On sait que 24,8 % des chiffres d’affaires journaliers dépassent 200 000 euros.

Soit X la variable aléatoire qui mesure, sur 30 jours ouvrables, le nombre de jours où le chiffre d’affaire dépasse 200 000 euros. Au vu des chiffres d’affaires journaliers des 30 jours ouvrables suivant sa campagne publicitaire, la direction annonce que 7 d’entre eux dépassent 200 000 euros.

Peut-on mettre en doute le pourcentage annoncé par la direction ?

Solution:
X suit une loi binomiale de paramètre n = 30 et p = 0,248.
On cherche dans un premier temps pour cet exercice l'intervalle de fluctuation au seuil des 95% associé à la variable aléatoire X.
Il faut trouver un intervalle du type avec a le plus petit entier tel que et b le plus petit entier tel que

Pour cela, on fait apparaître la table des valeurs de la variable aléatoire:

Dans l’application graphique de la calculatrice , il faut faire appel à la fonction qui calcule les Pour cela il faut appuyer sur puis sur .

A l’aide des flèches de direction on sélectionne BinomFRép, qui est la deuxième fonction qui concerne la loi binomiale proposée par la calculatrice.

On valide en appuyant sur puis on complète la boite de dialogue qui s’affiche :

Le nombre d’essais est ici 30, la valeur de p est 0,248 et enfin on met X comme valeur de X puisque l'on veut la table de toutes les valeurs, X est donc une variable. On valide en appuyant sur , deux fois.

Il faut ensuite vérifier que la table de valeurs est bien réglée: en appuyant sur

la table commence à X = 0.
Ne pas oublier de bien vérifier que le pas est de 1.

Il ne suffit plus qu'à faire afficher la tableur des valeurs cumulées de la loi en appuyant sur les touches
pour obtenir la table suivante:

En utilisant les flèches directionnelles de la calculatrice, on trouve a = 3 qui est bien le plus petit entier tel que et b = 12 qui est bien le plus petit entier tel que

L'intervalle de fluctuation est donc , on vérifie aisément que qui est la fréquence annoncée par l'entreprise appartient bien à l'intervalle de fluctuation, on accepte donc le pourcentage donné par la direction au seuil des 95%.

Remarque: Cette méthode vue en 1ère et abordée dans le chapitre Echantillonnage est essentielle. Toutefois, il existe une approche plus rapide, qui sera abordée dans une autre vidéo qui présente l'utilisation de la nouvelle instruction InvBinom * permettant de trouver directement les paramètres a et b sans passer par la table de valeurs

(* présente dès l'OS 5.2)

EXERCEZ-VOUS !

BONNE réponse
MAUVAISE réponse

C'est du cours ici: On a une répétition d'expériences identiques à 2 issues, la loi de X est donc bien une loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0.53 (p est une probabilité, sa valeur est donc toujours comprise entre 0 et 1)

q 1/10

On fait l'hypothèse que 53% des électeurs ont voté pour le candidat A. On interroge au hasard à la sortie des urnes 50 personnes.

X est la variable aléatoire qui compte le nombre k de personnes qui ont voté pour le candidat A. La loi de X est-elle une loi binomiale? si oui, préciser ses paramètres.


(Coche la bonne réponse)
non
oui avec n = 50 et p = 53
oui avec n = 50 et p = 0,53